\subsection{比例线段}\label{subsec:czjh2-6-2}

\begin{enhancedline}

我们先来研究两条线段的比。

在同一单位下，两条线段长度的比叫做这\zhongdian{两条线段的比}。
两条线段  $AB$、$CD$ 的比值为 $k$ 时，可以记作：
$$ \dfrac{AB}{CD} = k  \quad \text{或} \quad  AB:CD = k \juhao $$
因为线段的长度是一个正量，所以两条线段的比值一定是正数。
例如，课本的封面相邻两边 $a$、$b$ 的长度分别是 $18.5 \;\limi$ 和 $13 \;\limi$，那么
$$ \exdfrac{a}{b} = \dfrac{18.5}{13} = \dfrac{37}{26} \quad \text{或} \quad  a:b = 18.5:13 = \dfrac{37}{26} \juhao $$

如果改用米、毫米作为线段的长度单位，那么
\begin{align*}
    & a:b = 0.185:0.130 = \dfrac{37}{26} \fenhao \\
    & a:b = 185:130 = \dfrac{37}{26} \juhao
\end{align*}


由此可知：两条线段的比值与所采用的长度单位没有关系。
因此，下面讨论线段的比时，一般不指明长度单位。
但如果遇到给出的线段长度使用不同的单位时，要先化成同一单位。

\begin{wrapfigure}[11]{r}{6.5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh2-ch6-02}
    \caption{}\label{fig:czjh2-6-2}
\end{wrapfigure}

如图 \ref{fig:czjh2-6-2}，分别度量两个矩形的长 $a$ 和 $b$，宽 $c$ 和 $d$，得
$$ a = 3\;\limi \douhao  b = 12\;\haomi \douhao  c = 2\;\limi \douhao  d = 8\;\haomi \douhao$$
改成用 $\haomi$ 为单位，得 $a = 30\;\haomi$， $c = 20\;\haomi$。可得
$$ \exdfrac{a}{b} = \dfrac{30}{12} = 2.5 \douhao  \quad \exdfrac{c}{d} = \dfrac{20}{8} = 2.5 \juhao $$
于是得
$$ \exdfrac{a}{b} = \exdfrac{c}{d}  \quad \text{或} \quad  a:b = c:d  \juhao $$

在四条线段 $a$、$b$、$c$、$d$ 中，如果 $a$ 和 $b$ 的比等于 $c$ 和 $d$ 的比，
那么，这四条线段叫做\zhongdian{成比例线段}或简称\zhongdian{比例线段}。


\liti 两地的实际距离是 250 m，画在地图上的距离（图距）是 5 cm，图距与实际距离的比（$0.05:250$）
就是比例尺 $\left(\dfrac{1}{5000}\right)$。在这样的地图上，图距 $a=8$ cm 的两地 $A$、$B$，
实际距离是多少米？

\jie 根据题意
$$ \dfrac{a}{AB} = \dfrac{1}{5000} \douhao $$

$\therefore$ \quad $AB = 5000 a = 40000 \; (\limi) = 400 \;(\mi) \juhao$

答： $A$、$B$ 两地的实际距离是 400 米。


\begin{wrapfigure}[4]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh2-ch6-03}
    \caption{}\label{fig:czjh2-6-3}
\end{wrapfigure}

\liti 已知线段 $AB=l$， $C$ 是 $AB$ 上的一点（图 \ref{fig:czjh2-6-3}），且 $AC$ 是 $AB$ 和 $BC$ 的比例中项。求 $AC$ 的长。

\jie 设 $AC = x$，那么 $BC = AB - AC = l - x$。

因为 $AC$ 是 $AB$ 和 $BC$ 的比例中项，得
\begin{align*}
    & x^2 = l \, (l - x) \douhao \\
    & x^2 + lx = l^2 = 0 \juhao
\end{align*}

解得 \qquad $x = \dfrac{-l \pm \sqrt{l^2 + 4l^2}}{2}$ ，

$x_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \, l$， $x_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} \, l$ （不合题意）。

即 $AC = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} \, l \approx 0.618 \, l$。

把一条线段（$AB$）分成两条线段，使其中较大的线段（$AC$）是原线段（$AB$）
与较小的线段（$BC$）的比例中项，叫做把这条线段\zhongdian{黄金分割}。

在一条线段 $AB$ 上截取这条线段的 $0.618$ 倍得点 $C$，点 $C$ 就是线段 $AB$ 的黄金分割点（近似）。
我们也可以根据勾段定理，利用尺规作图作出 $\sqrt{\left(\exdfrac{l}{2}\right)^2 + l^2}$，
再作出一条线段的黄金分割点。作法如下:

1. 过点 $B$ 作 $BD \perp AB$，使 $BD = \exdfrac{1}{2} AB$（图 \ref{fig:czjh2-6-4}）。

\begin{wrapfigure}[5]{r}{6cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh2-ch6-04}
    \caption{}\label{fig:czjh2-6-4}
\end{wrapfigure}


2. 连结 $AD$，在 $AD$ 上截取 $DE = DB$。

3. 在 $AB$ 上截取 $AC = AE$。

点 $C$ 就是所求的黄金分割点。

这是因为， $\begin{aligned}[t]
    AC &= AE = AD - \dfrac{AB}{2} \\
       &= \sqrt{AB^2 + \left(\dfrac{AB}{2}\right)^2} - \dfrac{AB}{2} \\
       &= \dfrac{\sqrt{5} AB}{2} - \dfrac{AB}{2} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} AB \juhao
\end{aligned}$


\begin{lianxi}

\xiaoti{延长线段 $AB$ 到 $C$，使 $BC = AB$。求}
\begin{xiaoxiaotis}

    \threeInLineXxt[12em]{$AC:AB$；}{$AB:BC$；}{$AC:BC$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{求正方形的对角线和它的一边的比值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{用根式表示；}
    \xxt{精确到 $0.1$；}
    \xxt{精确到 $0.001$。}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{（口答）如图所示的三个矩形中，哪两个矩形的长和宽是成比例的线段？}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{9cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-subsec2-lx-03}
        \caption*{（第 3 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-subsec2-lx-05}
        \caption*{（第 5 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{已知：线段 $a = \exdfrac{1}{7} \;\limi$， $b = 4\;\limi$， $c = 28\sqrt{2}\;\limi$。
    求 $a$、$b$、$c$ 的第四比例项。
}

\xiaoti{已知：如图， $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$， $AD = 15$， $AB = 40$，$AC = 28$， 求 $AE$ 的长。}

\end{lianxi}
\end{enhancedline}



